Tema 6-PCPI-I: Geometría

1.- Rectas y planos en el espacio

– Punto: lo que no tiene  dimensiones

– Recta: lo que tiene una dimensión: largo

– Plano: lo que tiene dos dimensiones: largo y ancho

1.1.- Sistema de coordenadas

Está formado por dos rectas perpendiculares entre sí

– La recta horizontal es eje X

– La recta vertical es eje Y

– El punto donde se cortan es el origen

1.2.- Tipos de rectas

– Coincidentes: cuando comparten todos sus puntos

– Secantes: están en el mismo plano y tienen un punto en común

– Perpendiculares: si son secantes y forman 4 ángulos rectos (90º)

– Paralelas: no se cortan nunca

1.3.- Tipos de planos

– Coincidentes: si comparten todos los puntos

– Secantes: si se cortan en una recta

– Perpendiculares: si son secantes y el ángulo que forman es recto

– Paralelos: no se cortan nunca

1.4.- Diedro

Es el ángulo formado por dos semiplanos

Elementos:

– Arista: es la recta en la que se cortan los semiplanos

– Cara: es cada uno de los planos que componen el diedro

2.- Ángulo

Es la región comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados, con el mismo origen

El transportador de ángulos o goniómetro sirve para medir los ángulos

2.1.- Tipos de ángulos

– Ángulo nulo (0º): los dos lados son el mismo

– Ángulo recto (90º): los lados forman 90º

– Ángulo llano (180º): los lados están sobre la misma recta en sentido contrario

– Ángulo completo (360º): los lados están superpuestos después de que uno de ellos dé un giro completo

– Ángulo agudo: cuando es menor que el ángulo recto

– Ángulo obtuso: cuando es mayor que el ángulo recto y menor que el llano

– Ángulo convexo: cuando mide menos que el llano

– Ángulo cóncavo: mide más que el llano

– Ángulos complementarios: si su suma es un ángulo recto

– Ángulos suplementarios: si su suma es un ángulo llano

– Ángulos consecutivos: si tienen el vértice y un lado común

– Ángulos adyacentes: si son consecuentes y suman 180º (suplementarios)

3.- Polígonos

Es la parte del plano limitada por una línea poligonal cerrada

Se clasifican en función del número de lados

Tipos:

– Polígono regular: tiene todos sus lados y sus ángulos iguales

– Polígono irregular: cuando no es regular

– Polígono convexo: tiene todos los ángulos menores de 180º

– Polígono cóncavo: tiene algún ángulo mayor de 180º

3.1.- Triángulo

Es un polígono de tres lados cuya suma de ángulos es 180º

Tipos:

– Triángulo equilátero: tiene los tres lados y los tres ángulos iguales

– Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual

– Triángulo escaleno: tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales

– Triángulo rectángulo: un ángulo es recto

3.1.1.- Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo h^2 = a^2 + b^2 siendo h = hipotenusa (es el lado opuesto al ángulo recto) a,b = catetos (son los lados perpendiculares)

3.2.- Cuadriláteros

Son polígonos de 4 lados

Tipos:

– Trapezoides: no tiene lados paralelos

– Trapecios: tiene dos lados paralelos

Rectángulo: tiene dos ángulos rectos

Isósceles: tiene los lados no paralelos iguales

Escaleno: no es rectángulo ni isósceles

– Paralelogramos: tiene los 4 lados paralelos 2 a 2

Cuadrado: 4 ángulos rectos y 4 lados iguales

Rombo: 4 lados iguales

Romboide: 4 lados paralelos 2 a 2

Rectángulo: 4 ángulos rectos

4.- Área y perímetro de triángulos y cuadriláteros

– Cuadrado

A = l*l = l^2

P = 4*l

– Rectángulo y romboide

A = base * altura

P = 2*b +  2*a

– Polígono regular

A = (perímetro*apotema)/2

P = número lados*l

– Rombo

A = (diagonal mayor*diagonal menor)/2

P = 4*l

– Trapecio

A = [(B+b)/2]*h

P = B+b+l1+l2

– Triángulo

A = (b*h)/2

P = l1+l2+b

El perímetro es la suma de los lados

El apotema es la distancia del punto medio hasta la base

5.- Poliedro

Es un cuerpo geométrico limitado por caras que son polígonos

Elementos:

– Cara: cada uno de los polígonos que forman o limitan un poliedro

– Arista: es el lado común a dos caras

– Vértice: punto donde se unen más de dos caras

5.1.- Prisma

Es un poliedro compuesto por dos caras paralelas formadas por polígonos iguales (bases) y el resto de caras son paralelogramos

5.1.1.- Fórmula de Euler

Nº caras + Nº vértices = Nº aristas + 2

5.2.- Pirámides

Es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y sus caras restantes son triángulos que concurren en un vértice

– Si la base tiene n lados, el nº de caras es n+1

– El nº de aristas es 2*n

– El nº de vértices es n+1

5.3.- Relación prisma-pirámide

– Prisma

Nº caras = n+2

Nº aristas = 3*n

Nº vértices = 2*n

– Pirámide

Nº caras = n+1

Nº aristas = 2*n

Nº vértices = n+1

6. Áreas y volúmenes de prismas y pirámides

– Prisma

Área total = área lateral + 2*área base

Volumen = área base * h(altura)

– Pirámide

Área total = área lateral + área base

Volumen = (área base * h)/3

7.- Circunferencia y círculo

– Circunferencia: es una curva cerrada y plana, donde todos los puntos están a la misma distancia de un punto central llamado centro

Elementos:

Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia

Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia

Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro

Longitud de una circunferencia = 2*pi*r donde r = radio

– Círculo: el interior de la circunferencia

Área del círculo = pi*(r^2)

8.- Cuerpos de revolución

8.1.- Cilindro

Se obtiene al girar un rectángulo alrededor de un lado

8.2.- Cono

Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto

8.3.- Esfera

Se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro

9. Semejanza

Dos figuras son semejantes si los lados que las componen son proporcionales

9.1.- Escala

Es la relación de proporcionalidad que se utiliza para mapas, planos y maquetas

Escala natural 1:1

Escala 1:m significa que cada unidad del papel es m en la realidad