Tema 6-PCPI-I: Geometría

1.- Rectas y planos en el espacio

– Punto: lo que no tiene  dimensiones

– Recta: lo que tiene una dimensión: largo

– Plano: lo que tiene dos dimensiones: largo y ancho

1.1.- Sistema de coordenadas

Está formado por dos rectas perpendiculares entre sí

– La recta horizontal es eje X

– La recta vertical es eje Y

– El punto donde se cortan es el origen

1.2.- Tipos de rectas

– Coincidentes: cuando comparten todos sus puntos

– Secantes: están en el mismo plano y tienen un punto en común

– Perpendiculares: si son secantes y forman 4 ángulos rectos (90º)

– Paralelas: no se cortan nunca

1.3.- Tipos de planos

– Coincidentes: si comparten todos los puntos

– Secantes: si se cortan en una recta

– Perpendiculares: si son secantes y el ángulo que forman es recto

– Paralelos: no se cortan nunca

1.4.- Diedro

Es el ángulo formado por dos semiplanos

Elementos:

– Arista: es la recta en la que se cortan los semiplanos

– Cara: es cada uno de los planos que componen el diedro

2.- Ángulo

Es la región comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados, con el mismo origen

El transportador de ángulos o goniómetro sirve para medir los ángulos

2.1.- Tipos de ángulos

– Ángulo nulo (0º): los dos lados son el mismo

– Ángulo recto (90º): los lados forman 90º

– Ángulo llano (180º): los lados están sobre la misma recta en sentido contrario

– Ángulo completo (360º): los lados están superpuestos después de que uno de ellos dé un giro completo

– Ángulo agudo: cuando es menor que el ángulo recto

– Ángulo obtuso: cuando es mayor que el ángulo recto y menor que el llano

– Ángulo convexo: cuando mide menos que el llano

– Ángulo cóncavo: mide más que el llano

– Ángulos complementarios: si su suma es un ángulo recto

– Ángulos suplementarios: si su suma es un ángulo llano

– Ángulos consecutivos: si tienen el vértice y un lado común

– Ángulos adyacentes: si son consecuentes y suman 180º (suplementarios)

3.- Polígonos

Es la parte del plano limitada por una línea poligonal cerrada

Se clasifican en función del número de lados

Tipos:

– Polígono regular: tiene todos sus lados y sus ángulos iguales

– Polígono irregular: cuando no es regular

– Polígono convexo: tiene todos los ángulos menores de 180º

– Polígono cóncavo: tiene algún ángulo mayor de 180º

3.1.- Triángulo

Es un polígono de tres lados cuya suma de ángulos es 180º

Tipos:

– Triángulo equilátero: tiene los tres lados y los tres ángulos iguales

– Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual

– Triángulo escaleno: tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales

– Triángulo rectángulo: un ángulo es recto

3.1.1.- Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo h^2 = a^2 + b^2 siendo h = hipotenusa (es el lado opuesto al ángulo recto) a,b = catetos (son los lados perpendiculares)

3.2.- Cuadriláteros

Son polígonos de 4 lados

Tipos:

– Trapezoides: no tiene lados paralelos

– Trapecios: tiene dos lados paralelos

Rectángulo: tiene dos ángulos rectos

Isósceles: tiene los lados no paralelos iguales

Escaleno: no es rectángulo ni isósceles

– Paralelogramos: tiene los 4 lados paralelos 2 a 2

Cuadrado: 4 ángulos rectos y 4 lados iguales

Rombo: 4 lados iguales

Romboide: 4 lados paralelos 2 a 2

Rectángulo: 4 ángulos rectos

4.- Área y perímetro de triángulos y cuadriláteros

– Cuadrado

A = l*l = l^2

P = 4*l

– Rectángulo y romboide

A = base * altura

P = 2*b +  2*a

– Polígono regular

A = (perímetro*apotema)/2

P = número lados*l

– Rombo

A = (diagonal mayor*diagonal menor)/2

P = 4*l

– Trapecio

A = [(B+b)/2]*h

P = B+b+l1+l2

– Triángulo

A = (b*h)/2

P = l1+l2+b

El perímetro es la suma de los lados

El apotema es la distancia del punto medio hasta la base

5.- Poliedro

Es un cuerpo geométrico limitado por caras que son polígonos

Elementos:

– Cara: cada uno de los polígonos que forman o limitan un poliedro

– Arista: es el lado común a dos caras

– Vértice: punto donde se unen más de dos caras

5.1.- Prisma

Es un poliedro compuesto por dos caras paralelas formadas por polígonos iguales (bases) y el resto de caras son paralelogramos

5.1.1.- Fórmula de Euler

Nº caras + Nº vértices = Nº aristas + 2

5.2.- Pirámides

Es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y sus caras restantes son triángulos que concurren en un vértice

– Si la base tiene n lados, el nº de caras es n+1

– El nº de aristas es 2*n

– El nº de vértices es n+1

5.3.- Relación prisma-pirámide

– Prisma

Nº caras = n+2

Nº aristas = 3*n

Nº vértices = 2*n

– Pirámide

Nº caras = n+1

Nº aristas = 2*n

Nº vértices = n+1

6. Áreas y volúmenes de prismas y pirámides

– Prisma

Área total = área lateral + 2*área base

Volumen = área base * h(altura)

– Pirámide

Área total = área lateral + área base

Volumen = (área base * h)/3

7.- Circunferencia y círculo

– Circunferencia: es una curva cerrada y plana, donde todos los puntos están a la misma distancia de un punto central llamado centro

Elementos:

Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia

Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia

Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro

Longitud de una circunferencia = 2*pi*r donde r = radio

– Círculo: el interior de la circunferencia

Área del círculo = pi*(r^2)

8.- Cuerpos de revolución

8.1.- Cilindro

Se obtiene al girar un rectángulo alrededor de un lado

8.2.- Cono

Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto

8.3.- Esfera

Se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro

9. Semejanza

Dos figuras son semejantes si los lados que las componen son proporcionales

9.1.- Escala

Es la relación de proporcionalidad que se utiliza para mapas, planos y maquetas

Escala natural 1:1

Escala 1:m significa que cada unidad del papel es m en la realidad

Tema 5-PCPI-I: Ecuaciones y energía

1.- Expresión algebraica

Es la forma de describir matemáticamente una situación, enunciado u operación matemática en lenguaje algebraico, es decir, utilizando signos, números y letras

Una incógnita es la letra que representa el valor desconocido

Ej: El doble de un número n es 2*n

El doble de un número n más 3 es 2*n + 3

Las tres cuatras partes de x más 5 es (3*x/4) + 5

La mitad de x es x/2

2.- Ecuaciones de primer grado

– Para resolver ecuaciones de primer grado se despeja la incógnita

– Ecuaciones con paréntesis: primero se eliminan los paréntesis

– Ecuaciones con denominadores: primero se eliminan los denominadores

Cuando las ecuaciones tienen paréntesis y denominadores primero se quitan los paréntesis

3.- Peso

El peso es una fuerza que se mide en Newton (N). Depende de la masa y del lugar donde nos encontramos

Ej: Un astronauta de masa 75Kg en la Tierra pesa P = 75 * 9,8 (gravedad m/s^2) = 735N

Un astronauta de masa 75Kg en la Luna pesa P = 75 * 1,62 = 121,5N

4.- Energía

– Es la fuerza que mueve las cosas

– Es la capacidad que tienen los cuerpos o sistemas materiales de transferir calor o realizar un trabajo

– Viene del griego y significa «actividad»

– Se mide en julios (J)

4.1.- Calor

Es la energía que se transfiere entre dos cuerpos como consecuencia de su diferencia de temperatura. Pierde energía el cuerpo más caliente y gana energía el cuerpo más frío

4.2.- Trabajo

Se realiza trabajo sobre un cuerpo o sistema material cuando éste se desplaza bajo la acción de una fuerza que actúa total o parcialmente en la dirección del movimiento

4.3.- Función de la energía

– La función más importante de la energía es la que se desempeña en nuestro propio cuerpo. Ej: el oxígeno del aire que respiramos convierte los alimentos que tomamos en energía por medio de reacciones químicas. La energía obtenida se aprovecha para el trabajo muscular o los procesos de crecimiento

– Las herramientas nos ayudan en nuestras actividades cotidianas. Ej: la máquina es una herramienta que al aplicarle una fuerza, nos facilita el trabajo o lo hace más rápido y nos requiere menos esfuerzo

4.4.- Tipos de energía

– Energía térmica o calorífica: es la que tiene un cuerpo caliente, esta energía siempre pasa del cuerpo caliente al cuerpo frío

– Energía mecánica, motriz o del movimiento: es la que mueve todo: coches, viento, olas, planetas. Cualquier tipo de energía mecánica produce energía térmica. La energía mecánica puede presentarse como energía potencial y como energía cinética.

Energía potencial: es el trabajo que podría realizar un objeto por el hecho de encontrarse a cierta altura del suelo. Ej: agua en lo alto de una catarata puede mover molinos al caer

Energía cinética: es la energía causada por el movimiento. Ej: velocidad del agua puede mover las palas de una noria y producir trabajo

– Energía química: es la que tienen los compuestos químicos y se obtiene a partir de las reacciones químicas

Una reacción química es un proceso en el que una o más sustancias reaccionan para dar lugar a otras sustancias con propiedades diferentes.

Reactivos: sustancias que reacccionan o sustancias iniciales

Productos: sustancias finales

Tipos de reacciones químicas:

Reacciones exotérmicas: son aquellas en cuyo transcurso se desprende energía en forma de calor, luz, etc. Ej: combustión, al reaccionar una sustancia con el oxígeno

Reacciones endotérmicas: para que se produzcan ,se necesita absorber energía del exterior en forma de calor, luz, etc.

– Energía nuclear: es la que se obtiene al producir cambios en el núcleo de un átomo

E = m * c^2 (E = energía) (m = masa) (c^2 = velocidad de la luz al cuadrado)

Átomo tiene núcleo con protones y neutrones y girando alrededor electrones

Hay dos formas de generar energía nuclear:

Por fisión nuclear: cuando separamos con una potente fuerza las partículas que forman el núcleo. Se liberan grandes cantidades de energía, en forma de calor y luz. Si la liberación de la energía se produce de una sola vez, se genera una gran explosión. Ej: bombas atómicas

Por fusión nuclear: cuando se consigue unir núcleos pequeños para obtener otro más grande. Tiene menos problemas de residuos, radiacion y combustible. Pero necesita millones de grados de temperatura. Ej: reacción en el Sol, bomba H (bomba de hidrógeno)

4.5.- Fuentes de energía

Son aquellas que tienen la capacidad de generar energía: luz, calor, etc.

– Energías renovables o inagotables: su generación es continua y son relativamente limpias.

Energía solar: es limpia. Puede convertirse en eléctrica a partir de centrales solares térmicas

Energía eólica: es la que proviene de la energía cinética del viento. Se transforma en eléctrica mediante grandes molinos

Energía hidráulica: es la obtenida a partir de las corrientes de agua. Genera electricidad

Energía mareomotriz o de las mareas: las mareas son movimientos periódicos de subida y bajada del nivel del agua producidas por la atracción de la Luna y el Sol sobre la Tierra. Se obtiene energía eléctrica

Energía geotérmica: se encuentra en el interior de la Tierra en forma de calor y se manifiesta en la superficie por medio de volcanes, aguas termales

Energía de biomasa: viene de la fermentación de residuos orgánicos urbanos e industriales, donde se obtiene biogás (metano y dióxido de carbono). Se usa para motores, calefacción, agua caliente, electricidad

– Energías no renovables: al ser consumidas disminuyen sus reservas, sin tiempo suficiente para su renovación. Energías fósiles: carbón, petróleo, gas, uranio

Tema 4-PCPI-I: Magnitudes y materia

1.- Magnitudes y medidas

– Magnitud: es cualquier característica medible de un elemento. Ej: masa, capacidad, longitud, tiempo

– Unidad de medida: es la cantidad con la que comparamos una magnitud para medir. Ej: Kilogramo, litro, metro, hora

– Medida: es el número de veces que la unidad está contenida en lo que queremos medir. Ej: 1,5, 3, 1/2

Masa – Kilogramo – 1,5 Kg

Capacidad – litro – 3l

Longitud – metro – 2,6m

Tiempo – hora – 1/2h

– Magnitud en forma incompleja: cuando utilizamos una única unidad para una medida. Ej: 1,5m

– Magnitud en forma compleja: cuando utilizamos varias medidas para indicar la medida. Ej: 1m 5dm (decímetro)

2.- Sistema Internacional (SI)

– Magnitud de longitud:

Múltiplos: mam (miriámetro) – Km (kilómetro) – hm (hectómetro) – dam (decámetro)

Unidad: m(metro)

Submúltiplos: dm (decímetro) – cm (centímetro) – mm (milímetro) – (micra = 10^-6) – (nanómetro = 10^-9)

Ej: 43,54hm = 435400cm

435dm = 4,35dam

– Magnitud de masa:

Múltiplos: (tonelada = 1000kg) – (quintal métrico = 100kg) – mag (miriágramo) – Kg (kilogramo) – hg (hectogramo) – dag (decagramo)

Unidad: g(gramo)

Submúltiplos: dg (decigramo) – cg (centigramo) – mg (miligramo)

Ej: 3,42dag = 3420cg

342dg = 3,42dag

– Magnitud de capacidad:

Múltiplos: mal (mirialitro) – Kl (kilolitro) – hl (hectolitro) – dal (decalitro)

Unidad: l(litro)

Submúltiplos: dl (decilitro) – cl (centilitro) – ml (mililitro)

Ej: 4,53l = 453cl

453dl = 4,53dal

– Magnitud de superficie:

Múltiplos: mam^2 (miriámetro cuadrado) – Km^2 (kilómetro cuadrado) – hm^2 (hectómetro cuadrado = 1 hectárea = 1ha = 100áreas = 100a) – dam^2 (decámetro cuadrado = 1área = 1a)

Unidad: m^2(metro cuadrado = 1centiárea = 1ca = 0,01áreas = 0,01a)

Submúltiplos: dm^2 (decímetro cuadrado) – cm^2 (centímetro cuadrado) – mm^2 (milímetro cuadrado)

Ej: 83,8m^2 = 838000cm^2

83,8m^2 = 0,0000838Km^2

– Magnitud de volumen:

Múltiplos: Km^3 (kilómetro cúbico) – hm^3 (hectómetro cúbico) – dam^3 (decámetro cúbico)

Unidad: m^3(metro cúbico)

Submúltiplos: dm^3 (decímetro cúbico) – cm^3 (centímetro cúbico) – mm^3 (milímetro cúbico)

Ej: 45,6m^3 = 45600dm^3

3,45cm^3 = 0,0345dm^3

– Magnitud de tiempo:

Múltiplos: h (hora) – min (minuto)

Unidad: s(segundo)

Submúltiplos: ds (decisegundo) – cs (centisegundo) – ms (milisegundo)

Ej: 2h = 120min

30min = 1/2h

2.1.- Relación volúmen-capacidad

1Kl = 1000l

1m^3 = 1000dm^3

1l = 1dm^3

1ml = 0,001l

1cm^3 = 0,001dm^3

Ej: 500cm^3 = 0,5dm^3 = 0,5l

98,23m^3 = 98230dm^3 = 98230l

2.2.- Forma compleja e incompleja de la medida de superficie

Forma incompleja -> 298,343m^2

Forma compleja -> 2(dam^2) 98(m^2) 34(dm^2) 30(cm^2)

2.3.- Forma compleja e incompleja de la medida de volumen

Forma incompleja -> 54342,343dm^3

Forma compleja -> 54(m^3) 342(dm^3) 343(cm^3)

2.4.- Unidades de tiempo

1hora = 1h = 3600segundos = 3600s

1minuto = 1min = 60segundos = 60s

1segundo = 1s

2.4.1.- Forma compleja e incompleja de la medida de tiempo

Forma incompleja -> 6432s

Forma compleja -> 1hora 47min 12s

Ej: 3h 42min 15s -> (3*3600) + (42*60) + 15 = 13335s

13335 -> 13335:60 = 222 + (resto = 15) 222:60 = 3 + (resto = 42)

3.- ¿Qué es la materia?

La materia es de lo que están hechas todas las cosas

3.1.- Propiedades de la materia

– Superficie: es la medida de largo * ancho. Ej: 22cm * 30cm = 660cm^2

– Volumen: es la porción del espacio que ocupa un cuerpo, mide largo * ancho * alto. Ej: 19cm * 26cm * 2cm = 988cm^3

– Masa: es la cantidad de materia que tiene un cuerpo y se mide en Kg

– Densidad: es la masa que contiene la unidad de volumen de un cuerpo.

Densidad = masa / Volumen [Kg/m^3] [g/cm^3]

Ej: El agua tiene densidad de 1000Kg/m^3 lo que implica que 1000Kg de masa ocupa un volumen de 1m^3.

Si la densidad de un cuerpo es menor que la del agua, el cuerpo flota

Si la densidad de un cuerpo es mayor que la del agua, el cuerpo no flota

Si un cuerpo tiene menor densidad que otro, éste flotará

– Temperatura: es una propiedad relacionada con la cantidad de calor que tiene un cuerpo.

Un cuerpo caliente cede calor

Un cuerpo frío absorbe calor

cero absoluto = -273ºC (grado centígrado) = 0ºK (grado Kelvin)

ºK = ºC +273

3.2.- Estado de la materia

– Estado sólido:

Los cuerpos en estado sólido tienen:

Masa constante

Volumen constante

Forma propia y fija

Ej: hielo

– Estado líquido:

Los cuerpos en estado líquido tienen:

Masa constante

Volumen constante

No tienen forma propia

Ej: agua líquida

La temperatura de fusión es aquella necesaria para el paso de estado sólido a estado líquido

– Estado gaseoso:

Los cuerpos en estado gaseoso tienen:

Masa constante

Volumen no constante

No tienen forma propia

Ej: vapor de agua

La temperatura de ebullición es aquella necesaria para el paso de estado líquido a estado gaseoso